El teorema de Sharkovskii

En matemáticas, el teorema de Sharkovskii, nombrado por Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky, es un resultado sobre sistemas dinámicos distintos. Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico distinto continuo en la verdadera línea tiene un punto periódico del período 3, entonces debe tener puntos periódicos de cada otro período.

El teorema

Suponga

:f: RR

es una función continua. Decimos que el número x es un punto periódico del período m si f (x) = x (donde f denota la composición del m de copias de f) y teniendo la menor parte de período m si además f (x) x para todo el 0

3 & 5 & 7 & 9 & 11 & \ldots & (2n+1) \cdot2^ {0} & \ldots \\

3\cdot2 & 5\cdot2 & 7\cdot2 & 9\cdot2 & 11\cdot2 & \ldots & (2n+1) \cdot2^ {1} & \ldots \\

3\cdot2^ {2} & 5\cdot2^ {2} & 7\cdot2^ {2} & 9\cdot2^ {2} & 11\cdot2^ {2} & \ldots & (2n+1) \cdot2^ {2} & \ldots \\

3\cdot2^ {3} & 5\cdot2^ {3} & 7\cdot2^ {3} & 9\cdot2^ {3} & 11\cdot2^ {3} & \ldots & (2n+1) \cdot2^ {3} & \ldots \\

& \vdots \\

\ldots & 2^ {n} & \ldots & 2^ {4} & 2^ {3} & 2^ {2} & 2 & 1\end {serie} </matemáticas>

Comenzamos, es decir con los números impares en el pedido creciente, entonces 2 veces las probabilidades, 4 veces las probabilidades, 8 veces las probabilidades, etc., y al final ponemos los poderes de dos en el pedido decreciente. Cada número entero positivo aparece exactamente una vez en algún sitio a esta lista. El teorema de Sharkovskii declara que si f tiene un punto periódico de la menor parte de período el m y el m preceden a n en el susodicho pedido, entonces f también tiene un punto periódico de la menor parte de período n.

Como una consecuencia, vemos que si f tiene sólo finitamente muchos puntos periódicos, entonces deben tener todos períodos que son poderes de dos. Además, si hay un punto periódico del período tres, entonces hay puntos periódicos de todos otros períodos.

El teorema de Sharkovskii no declara que hay ciclos estables de aquellos períodos, sólo que hay ciclos de aquellos períodos. Para sistemas como el mapa logístico, el diagrama de la bifurcación muestra una variedad de valores del parámetro para los cuales por lo visto el único ciclo tiene el período 3. De hecho, debe haber ciclos de todos los períodos allí, pero no son estables y no por lo tanto visibles en el cuadro generado del ordenador.

De manera interesante, susodicho "Sharkovskii que pide" de los números enteros positivos también ocurre en un contexto ligeramente diferente en relación al mapa logístico: los ciclos estables aparecen en este pedido en el diagrama de la bifurcación, que comienza con 1 y termina con 3, ya que el parámetro se aumenta. (Aquí no hacemos caso de un ciclo estable si un ciclo estable del mismo pedido ha ocurrido antes.)

La asunción de la continuidad es importante, como la función discontinua, para la cual cada valor tiene el período 3, sería por otra parte un contraejemplo.

Generalizaciones

El teorema de Sharkovskii no se aplica inmediatamente a sistemas dinámicos en otros espacios topológicos. Es fácil encontrar un mapa del círculo con puntos periódicos del período 3 sólo: tome una rotación por 120 grados, por ejemplo. Pero algunas generalizaciones son posibles, típicamente implicando el grupo de la clase de correlación del espacio menos una órbita periódica.

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